Question

已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，P是拋物線上異于原點的任意一點，直線PF與拋物線另一交點為點Q，設(shè)l是過點P的拋物線的切線，l與直線y=-1和x軸的交點分別為A，B．
（1）求證：AF⊥PQ；
（2）過B作BC⊥PQ于C，若|PC|=|QF|，求|PQ|．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P(m，

m2

4

)，過P的切線方程為：y=

m

2

x-

m2

4

，分別求出A和F的坐標，由此利用向量的計算公式能證明AF⊥PQ．
（2）分別過B、P作直線y=-1的垂線，垂足為D、E，由已知條件推導(dǎo)出|FC|=|BD|=1，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+1，代入C：x²=4y得x²-4kx-4=0，由此能求出|PQ|的長．

解答： （1）證明：設(shè)P(m，

m2

4

)，
則過P的切線方程為：y=

m

2

x-

m2

4

，┅（2分）
由

y= m 2 x- m2 4 y=-1

，得A的坐標(

m

2

-

2

m

，-1)，
又∵拋物線C：x²=4y的焦點為F（0，1），
∴

FP

=(m，

m2

4

-1)，

FA

=(

m2-4

2m

，-2)，┅（4分）
∴

FP

•

FA

=m•

m2-4

2m

+(

m2

4

-1)•(-2)=0，┅（6分）
∴AF⊥PQ．┅（7分）
（2）解：分別過B、P作直線y=-1的垂線，垂足為D、E，
∵BC∥AF，∴

|FC|

|FP|

=

|AB|

|AP|

=

|BD|

|PE|

，
∵|FP|=|PE|，∴|FC|=|BD|=1，┅（9分）
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+1，代入C：x²=4y得x²-4kx-4=0，
∴m•x_Q=-4，∴xQ=-

4

m

，∴yQ=

4

m2

，┅（11分）
∵|PF|=

m2

4

+1，|QF|=

4

m2

+1，∴|PC|=

m2

4

，
由|PC|=|QF|，得

4

m2

+1=

m2

4

，
∴m⁴-4m²-16=0，解得m2=2+2

5

，┅（14分）
∴|PQ|=

m2

4

+

4

m2

+2=

5

+2．┅（15分）

點評：本題考查直線垂直的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．