Question

已知函數(shù)f（x）=

kx-k+4，x≤1 x2-(k+2)x+k+5，x＞1

（k∈R），且y=f（x）在x∈（-1，5）內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求x₁²+x₂²+x₃²的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，y=f（x）在x∈（-1，1）內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，在（1，5）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)解析式，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）不妨令x1=

k-4

k

，x2+x3=k+2，x2•x3=k+5，則x₁²+x₂²+x₃²可表示為k的函數(shù)，即可求出其取值范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)題意

k＞0 -1＜ k-4 k ＜1

，∴k＞2，
又

△=(k+2)2-4(k+5)＞0 1＜ k+2 2 ＜5 f(1)＞0 f(5)＞0

，
∴4＜k＜5，
綜上4＜k＜5．
（2）不妨令x1=

k-4

k

，x2+x3=k+2，x2•x3=k+5，
∴x12+x22+x32=x12+(x2+x3)2-2x2x3=(

k-4

k

)2+(k+2)2-2(k+5)
=k2+

16

k2

+2k-

8

k

-5=(k-

4

k

)2+2(k-

4

k

)+3，
令t=k-

4

k

∈(3，

21

5

)，
∴x12+x22+x32∈(18，

726

25

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解分段函數(shù)是關(guān)鍵．