圓心為I的△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AC、AB于點E、F．設M為線段EF上一點，證明：△MAB與△MAC面積相等的充分必要條件是MI⊥BC．
考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專題：立體幾何
分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合三角形的面積之間關系以及圓的相關知識，即可得到結(jié)論．
解答： 證明：過點M作MP⊥AC、MQ⊥AB，垂足分別為P、Q．圓I切邊BC于點D，
則ID⊥BC，IF⊥AB，IE⊥AC．
顯然AF=AE，
∴∠AFM=∠AEM，
從而推知Rt△QFM：Rt△PEM，得
MQ
MP
=
MF
ME
．
又 
S△MAB
S△MAC
=
1
2
MQ•AB
1
2
MP•AC
=
MQ•AB
MP•AC
=
MF
ME
•
AB
AC
，
∴△MAB與△MAC面積相等的充要條件是
AB
AC
=
ME
MF
．①
由①可知，問題轉(zhuǎn)化為證明：
AB
AC
=
ME
MF
的充分必要條件是MI⊥BC．
首先證明：若MI⊥BC，則
AB
AC
=
ME
MF
．由MI⊥BC可知點M在直線ID上．
∵B、D、I、F四點共圓，
∴∠MIF=∠DBF=∠B，∠MIE=∠ECD=∠C．
又 IE=IF，則由正弦定理得
MF
sin∠MIF
=
FI
sin∠IMF
=
IE
sin(π-∠IMF)
=
ME
sin∠MIE
，
即 
ME
MF
=
sinC
sinB
，而
AB
AC
=
sinC
sinB
．
∴
AB
AC
=
ME
MF
．
其次證明：若
AB
AC
=
ME
MF
，
則MI⊥BC．設直線ID與EF交于點M'，
則由上述證明可知
AB
AC
=
M′E
M′F
，
于是有
AB
AC
=
M′E
M′F
，從而 M與M’重合．
故命題成立．
點評：本題主要考查與圓的有關的幾何證明，難度較大，綜合性較強．
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相關習題

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如圖，圓C通過不同的三點P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），且圓C在點P處的切線的斜率為1，
（Ⅰ）試求圓C的方程．
（Ⅱ）若點A、B是圓C上不同兩點，且滿足
CP
•
CA
=
CP
•
CB
．
（1）試求直線AB的斜率；
（2）若原點O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求直線AB在y軸上的截距的范圍．

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某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值為
 
．

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kx-k+4，x≤1
x2-(k+2)x+k+5，x＞1
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（2）求x12+x22+x32的取值范圍．

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x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
5
2
，則C的漸近線方程為
 
．

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如果f（cosx）=cos2x，那么f（sin30°）的值為
 
．

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．

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．

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