Question

設(shè)x，y滿足約束條件

4x-3y+4≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則ab的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此時(shí)z最大．
由

4x-3y+4=0 4x-y-4=0

，解得

x=2 y=4

，即A（2，4），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，
即2a+4b=8，∴a+2b=4，
則4=a+2b≥2

2ab

，
∴ab≤2
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2，即a=2，b=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．