Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²，a∈R．
（1）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為f′（x）=3ax²-6x≤0在[0，1]上恒成立，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a＞0，
∵f（x）=ax³-3x²，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）=3ax（x-

2

a

）．
當(dāng)x∈（-∞，0）∪（

2

a

，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，

2

a

）時，f′（x）＜0
故函數(shù)的減區(qū)間為∈（0，

2

a

），增區(qū)間為（-∞，0），（

2

a

，+∞）；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
則f′（x）=3ax²-6x≤0在[0，1]上恒成立，
即3ax²≤6x在[0，1]上恒成立，
當(dāng)x=0時，滿足條件，
當(dāng)x≠0時，不等式等價為a≤

6x

3x2

=

2

x

，
∵0＜x≤2，∴

2

x

≥1，
則a≤1．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力．