Question

已知函數(shù)f(x)=

sinx

x

，判斷下列三個(gè)命題的真假：
①f（x）＜1；
②x=0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
③當(dāng)x∈（0，2π）時(shí)，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)．其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：對(duì)于①針對(duì)函數(shù)f(x)=

sinx

x

的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)的函數(shù)值即可，再利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)，通過(guò)面積關(guān)系證明sinx＜x；
對(duì)于②③，利用商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ’(x)=(

sinx

x

)′=

xcosx-sinx

x2

，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答：解：①針對(duì)函數(shù)f(x)=

sinx

x

的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)的函數(shù)值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S_△OAN＜S_扇形OAN，
設(shè)

AN

的長(zhǎng)為l，則x=

1

r

=1，
∴

1

2

ON•MA＜

1

2

ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f(x)=

sinx

x

，故①正確；
②因?yàn)閤為0時(shí)分母無(wú)意義，所以x=0不能為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
③由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ’(x)=(

sinx

x

)′=

xcosx-sinx

x2

，
當(dāng)x∈(0，

3π

2

)時(shí)，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，
當(dāng)x∈(

3π

2

，π)時(shí)，xcosx-sinx＞0，即f'（x）＞0，則函數(shù)在x=

3π

2

時(shí)取得極值，故③錯(cuò)誤．
故答案選 B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的常用結(jié)論對(duì)三個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．