Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，它的一個焦點恰好與拋物線y²=4x的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓的上頂點為A，過點A作橢圓C的兩條動弦AB，AC，若直線AB，AC斜率之積為

1

4

，直線BC是否一定經(jīng)過一定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線的方程可得焦點，進(jìn)而得到橢圓的半焦距c，再利用離心率e=

c

a

=

2

2

及其b²=a²-c²即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由橢圓的方程可得A（0，1）．設(shè)直線AB的斜率為k，直線AC的斜率為

1

4k

，可得直線AB、AC的方程，分別與橢圓的方程聯(lián)立可得點B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線BC的方程，即可得出定點．

解答： 解：（1）由拋物線y²=4x，可得焦點（1，0）又為橢圓的一個焦點，因此c=1，
又離心率e=

2

2

=

c

a

，∴a=

2

，
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由橢圓的方程可得A（0，1）．
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AC的斜率為

1

4k

，
得到直線AB、AC的方程分別為：y=kx+1，y=

1

4k

x+1．
聯(lián)立

y=kx+1 x2+2y2=2

，化為（1+2k²）x²+4kx=0，
解得x=0或-

4k

1+2k2

，
∴xB=

-4k

1+2k2

，
∴y_B=

1-2k2

1+2k2

，
∴B(

-4k

1+2k2

，

1-2k2

1+2k2

)．
把點B的坐標(biāo)中的k換成

1

4k

可得C(

-8k

1+8k2

，

8k2-1

1+8k2

)．
∴k_BC=

4k2+1

2k

．
∴直線AB的方程為：y-

1-2k2

1+2k2

=

4k2+1

2k

(x+

4k

1+2k2

)，
令x=0，得到y(tǒng)=3．
因此直線BC一定經(jīng)過一定點（0，3）．

點評：本題考查了拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點的坐標(biāo)、直線的點斜式、直線過定點問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．