Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

a

2

x²-（a+1）x（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若f（x）＜

a

2

x²-x-a，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（x）＜

a

2

x²-x-a，轉(zhuǎn)化為lnx-ax+a＜0，構(gòu)造新的函數(shù)g（x）=lnx-ax+a，求g（x）＜0恒成立時(shí)a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)討論g（x）的單調(diào)性，
求出g（x）的最大值，只需最大值小于0即可．

解答： 解：定義域?yàn)椋海?，+∞），
（1）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，0＜x＜

1

2

或x＞1，當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，x＜0或

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（0，

1

2

）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為：（

1

2

，1）；
（2）f（x）＜

a

2

x²-x-a即lnx+

a

2

x²-（a+1）x＜

a

2

x²-x-a，∴l(xiāng)nx-ax+a＜0，
令g（x）=lnx-ax+a，x∈（1，+∞），g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又g（e）=1-ae+a=1+a（1-e）＞0，∴g（x）＜0不恒成立；
②當(dāng)a≥1時(shí)，g′（x）=

1

x

-a＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）＜g（1）=-a+a=0，滿足題意；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由g′（x）=

1

x

-a＞0得，x＜

1

a

，∴g（x）在（1，

1

a

）上單調(diào)遞增，
由g′（x）=

1

x

-a＜0得，x＞

1

a

，∴g（x）在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（

1

a

）=ln

1

a

-1+a=a-lna-1，令h（a）=a-lna-1，a∈（0，1），
h′（a）=1-

1

a

＞0，∴h（a）單調(diào)遞增，∴h（a）＜h（1）=0，
∴g（x）≤h（a）＜0，此時(shí)滿足題意；
綜上得，a的取值范圍為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道導(dǎo)數(shù)的合題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用最值求函數(shù)中參數(shù)值．屬于中當(dāng)題．