已知xi>0(i=1,2,3,…,n),我們知道有(x1+x2)(
1
x1
+
1
x2
)≥4成立.
(Ⅰ)請(qǐng)證明(x1+x2+x3)(
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
)≥9;
(Ⅱ)同理我們也可以證明出(x1+x2+x3+x4)(
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+
1
x4
)≥16
由上述幾個(gè)不等式,請(qǐng)你猜測(cè)與x1+x2+…+xn
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
(n≥2,n∈N*)有關(guān)的不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法,基本不等式
專題:綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(Ⅰ)利用基本不等式,即可證明(x1+x2+x3)(
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
)≥9;
(Ⅱ)猜測(cè)(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2(n≥2),再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答: 證明:(Ⅰ)(x1+x2+x3)(
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
)=3+(
x1
x2
+
x2
x1
)+(
x1
x3
+
x3
x1
)+(
x2
x3
+
x3
x2
)≥3+2+2+2=9,
∴(x1+x2+x3)(
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
)≥9
(Ⅱ)猜測(cè)滿足的不等式為(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2(n≥2),
證明如下:
(1)當(dāng)n=1時(shí),x1
1
x1
≥1,猜想成立;當(dāng)n=2時(shí),(x1+x2)(
1
x1
+
1
x2
)≥4,猜想成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),猜想成立,即(x1+x2+…+xk)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
)≥k2,
那么n=k+1時(shí),(x1+x2+…+xk+1)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
+
1
xk+1
)=(x1+x2+…+xk)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
)+xk+1
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
)+(x1+x2+…+xk
1
xk+1
+1≥k2+2k+1=(k+1)2
則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立,
根據(jù)(1)(2)可得猜想對(duì)任意的n∈N,n≥1都成立.
點(diǎn)評(píng):本題以已知不等式為載體,考查類比推理,考查數(shù)學(xué)歸納法,關(guān)鍵是第二步,同時(shí)應(yīng)注意利用歸納假設(shè).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),若
1
b
-
1
a
=1,判斷a-b與1的大小關(guān)系,并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知棱錐V-ABCD的高為h,底面是矩形,側(cè)棱VD垂直于底面ABCD,另外兩側(cè)面VBC,VBA和底面分別成30°和45°角,求棱錐的全面積S

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在區(qū)間[0,2]上的最值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x+bx2+alnx,又y=f(x)的圖象過(guò)P(1,1)點(diǎn),且在P處切線的斜率為2.
(1)求a,b的值
(2)證明f(x)≤2x-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求證:如果一條直線垂直于兩個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna(a>0且a≠1).
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)比較f(1)與f(-1)的大;
(Ⅲ)若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+
a
2
x2-(a+1)x(a為常數(shù)).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>1時(shí),若f(x)<
a
2
x2-x-a,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算下列定積分的值:(1)
π
4
0
cos2
x
2
dx

                  (2)
2
-1
|x2-x|dx

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案