已知xi＞0（i=1，2，3，…，n），我們知道有（x1+x2）（
1
x1
+
1
x2
）≥4成立．
（Ⅰ）請證明（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9；
（Ⅱ）同理我們也可以證明出（x1+x2+x3+x4）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+
1
x4
）≥16
由上述幾個不等式，請你猜測與x1+x2+…+xn和
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
（n≥2，n∈N*）有關的不等式，并用數(shù)學歸納法證明．
考點：數(shù)學歸納法,基本不等式
專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析：（Ⅰ）利用基本不等式，即可證明（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9；
（Ⅱ）猜測（x1+x2+…+xn）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）≥n2（n≥2），再用數(shù)學歸納法證明．
解答： 證明：（Ⅰ）（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）=3+（
x1
x2
+
x2
x1
）+（
x1
x3
+
x3
x1
）+（
x2
x3
+
x3
x2
）≥3+2+2+2=9，
∴（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9
（Ⅱ）猜測滿足的不等式為（x1+x2+…+xn）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）≥n2（n≥2），
證明如下：
（1）當n=1時，x1•
1
x1
≥1，猜想成立；當n=2時，（x1+x2）（
1
x1
+
1
x2
）≥4，猜想成立；
（2）假設當n=k時，猜想成立，即（x1+x2+…+xk）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
）≥k2，
那么n=k+1時，（x1+x2+…+xk+1）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
+
1
xk+1
）=（x1+x2+…+xk）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
）+xk+1（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
）+（x1+x2+…+xk）
1
xk+1
+1≥k2+2k+1=（k+1）2
則當n=k+1時猜想也成立，
根據(jù)（1）（2）可得猜想對任意的n∈N，n≥1都成立．
點評：本題以已知不等式為載體，考查類比推理，考查數(shù)學歸納法，關鍵是第二步，同時應注意利用歸納假設．
練習冊系列答案
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1
b
-
1
a
=1，判斷a-b與1的大小關系，并證明．

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a
2
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a
2
x2-x-a，求a的取值范圍．

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計算下列定積分的值：（1）
∫
π
4
0
cos2
x
2
dx．
                  （2）
∫
2
-1
|x2-x|dx．

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