Question

在如圖1的等腰梯形ABCD中，AB=1，DC=3，DA=BC=

2

，AE⊥DC于E，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使得平面AED⊥平面ABCE，連接DA、DB、DC得四棱錐D-ABCE，如圖2所示．
（Ⅰ）證明：DE⊥AB；
（Ⅱ）過棱DC上一點M作截面MEB，使截得的三棱錐M-EBC與原四棱錐D-ABCE的體積比為1：3，試確定M點在棱DC上的位置．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)可得DE⊥平面ABCE，即可證明DE⊥AB；
（Ⅱ）過DC上一點M作MH∥DE，交DE于H，由三棱錐M-EBC與原四棱錐D-ABCE的體積比為1：3，可得S_ABCE•DE=3S_△EBC•MH，即可確定M點在棱DC上的位置．

解答： （Ⅰ）證明：由題意，DE⊥AE．
∵平面AED⊥平面ABCE，平面AED∩平面ABCE=AE，
∴DE⊥平面ABCE，
∵AB?平面ABCE，
∴DE⊥AB；
（Ⅱ）解：過DC上一點M作MH∥DE，交DE于H，

∵DE⊥平面ABCE，
∴MH⊥平面ABCE，
∴MH，DE分別為三棱錐M-EBC與四棱錐D-ABCE的高，
∵三棱錐M-EBC與原四棱錐D-ABCE的體積比為1：3，
∴S_ABCE•DE=3S_△EBC•MH
由AB=1，DC=3，DA=BC=

2

，可得AE=1，EC=2，
設(shè)MH=h，則
∵S_ABCE•DE=3S_△EBC•MH
∴

(1+2)×1

2

×1=3×

2

2

×2×2×h，
∴h=

1

2

，
∴M是DC的中點．

點評：本題主要考查了線面垂直，面面垂直的性質(zhì)，考查錐體體積的計算．注重了對學(xué)生邏輯思維能力和空間觀察能力的考查．