Question

對于函數(shù)y=f（x），若在其定義域內(nèi)存在x₀，使得x₀f（x₀）=1成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．
（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)P的有

 

①f（x）=-2x+2

2

②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）
③f（x）=x+

1

x

，（x∈（0，+∞））
（2）若函數(shù)f（x）=alnx具有性質(zhì)P，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在 x≠0時f(x)=

1

x

有解即函數(shù)具有性質(zhì)P，逐一判斷三個函數(shù)是否滿足此條件，可得答案；
（2）f（x）=alnx具有性質(zhì)P，顯然a≠0，方程 xlnx=

1

a

有根，因為g（x）=xlnx的值域為[-

1

e

，+∞)，所以 

1

a

≥-

1

e

，進而得到答案．

解答： 解：（1）在 x≠0時，f(x)=

1

x

有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，
①令-2x+2

2

=

1

x

，即-2x2+2

2

x-1=0，
∵△=8-8=0，故方程有一個非0實根，故f（x）=-2x+2

2

具有性質(zhì)P；
②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的圖象與y=

1

x

有交點，
故sinx=

1

x

有解，故f（x）=sinx（x∈[0，2π]）具有性質(zhì)P；
③令x+

1

x

=

1

x

，此方程無解，
故f（x）=x+

1

x

，（x∈（0，+∞））不具有性質(zhì)P；
綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②，
（2）f（x）=alnx具有性質(zhì)P，顯然a≠0，方程 xlnx=

1

a

有根，
∵g（x）=xlnx的值域為[-

1

e

，+∞)，
∴

1

a

≥-

1

e

，
解之可得：a＞0或 a≤-e．
故答案為：（1）①②，（2）a＞0或a≤-e．

點評：本題考查的知識點是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大．