在矩形ABCD 中，AB=1，BC=
3
，點Q在BC邊上，且BQ=
3
3
，點P在矩形內(nèi)（含邊界），則
AP
•
AQ
的最大值為
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由于|
AQ
|為定值，所以只需|
AP
|cos∠PAQ最大，于是將
AP
•
AQ
的最大值問題轉(zhuǎn)化為向量
AP
在
AQ
上的射影的最大值問題，從而確定P點的位置，再計算此時
AP
•
AQ
的值即得結(jié)果．
解答： 解：由|
AQ
|=
|AB|2+|BQ|2
=
2
3
3
，
得
AP
•
AQ
=|
AP
|•|
AQ
|cos∠PAQ=
2
3
3
|
AP
|cos∠PAQ，
∴要使
AP
•
AQ
最大，只需向量
AP
在
AQ
上的射影最大，
顯然，當點P與C重合時，射影最大．
過C作CE⊥AQ，交AQ的延長線于E，如右圖所示，
由|CQ|=
3
-
3
3
=
2
3
3
=|AQ|，及∠AQB=∠CQE，
知Rt△ABQ≌Rt△CEQ，
∴|CE|=|AB|=1．
又矩形對角線長|AC|=
|AB|2+|BC|2
=2，
∴(|
AP
|cos∠PAQ)max=|AC|cos∠PAE=|AE|=
|AC|2-|CE|2
=
3
，
從而
AP
•
AQ
的最大值為
2
3
3
×|AE|=
2
3
3
×
3
=2．
故答案為2．
點評：本題考查了數(shù)量積的定義及幾何意義，化歸思想的運用，關(guān)鍵是抓住“變”與“不變”，將
AP
•
AQ
進行轉(zhuǎn)化，并充分利用圖形的幾何特征才得以順利求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1-log4(x-1)
的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
夾角為60°，且|
a
|=1，|2
a
-
b
|=2
3
，則|
b
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在半徑為4的球面上有A、B、C、D四個點，且AB=CD=4，則四面體ABCD體積的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

令f（n）=12+22+…+（n-1）2+n2+（n-1）2+…+22+12，則f（n+1）=f（n）+
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)y=f（x），若在其定義域內(nèi)存在x0，使得x0f（x0）=1成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．
（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)P的有
 

①f（x）=-2x+2
2

②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）
③f（x）=x+
1
x
，（x∈（0，+∞））
（2）若函數(shù)f（x）=alnx具有性質(zhì)P，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知CA=2，CB=3，∠ACB=60°，CH為AB邊上的高．設(shè)
.
CH
=m
.
CB
+n
.
CA
其中m，n∈R，則
m
n
等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知a-ccosB=b-ccosA，則△ABC的形狀是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在x=1處的切線方程為y=2x+1，則f（1）+f′（1）=（　�。�
A、6B、7C、8D、9

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