Question

在矩形ABCD 中，AB=1，BC=

3

，點(diǎn)Q在BC邊上，且BQ=

3

3

，點(diǎn)P在矩形內(nèi)（含邊界），則

AP

•

AQ

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于|

AQ

|為定值，所以只需|

AP

|cos∠PAQ最大，于是將

AP

•

AQ

的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量

AP

在

AQ

上的射影的最大值問(wèn)題，從而確定P點(diǎn)的位置，再計(jì)算此時(shí)

AP

•

AQ

的值即得結(jié)果．

解答： 解：由|

AQ

|=

|AB|2+|BQ|2

=

2 3

3

，
得

AP

•

AQ

=|

AP

|•|

AQ

|cos∠PAQ=

2 3

3

|

AP

|cos∠PAQ，
∴要使

AP

•

AQ

最大，只需向量

AP

在

AQ

上的射影最大，
顯然，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，射影最大．
過(guò)C作CE⊥AQ，交AQ的延長(zhǎng)線于E，如右圖所示，
由|CQ|=

3

-

3

3

=

2 3

3

=|AQ|，及∠AQB=∠CQE，
知Rt_△ABQ≌Rt_△CEQ，
∴|CE|=|AB|=1．
又矩形對(duì)角線長(zhǎng)|AC|=

|AB|2+|BC|2

=2，
∴(|

AP

|cos∠PAQ)max=|AC|cos∠PAE=|AE|=

|AC|2-|CE|2

=

3

，
從而

AP

•

AQ

的最大值為

2 3

3

×|AE|=

2 3

3

×

3

=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的定義及幾何意義，化歸思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是抓住“變”與“不變”，將

AP

•

AQ

進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并充分利用圖形的幾何特征才得以順利求解．