Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證： ；

（3）求證：當(dāng)時(shí)， ， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)討論,分當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令導(dǎo)數(shù)大于0,得增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間;
(2) 令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，不等式得證;

(3)構(gòu)造函數(shù)，證明其最小值大于等于0即可.

試題解析：（1），

（ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）證明：令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，∴，即.

（3）證明： 恒成立與恒成立等價(jià)，

令，即，則，

當(dāng)時(shí)， （或令，則在上遞增，∴，∴在上遞增，∴，∴）

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，

∴恒成立.

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，不等式恒成立，及不等式的證明問題.要求單調(diào)性，求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.