【題目】已知橢圓:()的離心率為,連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左焦點為,右焦點為,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點,線段的垂直平分線交于點,求點的軌跡的方程;
(3)設(shè)為坐標(biāo)原點,取上不同于的點,以為直徑作圓與相交另外一點,求該圓面積的最小值時點的坐標(biāo).
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解;(2)運用拋物線的定義求解;(3)借助題設(shè)運用圓與拋物線的位置關(guān)系探求.
試題解析:
(1)由,得,再由,解得……………………1分
由題意可知,即…………………………………………………2分
解方程組得,……………………………………………………3分
所以橢圓的方程是……………………………………………………………4分
(2)因為,所以動點到定直線:的距離等于它到定點的距離,所以動點的軌跡是以為準(zhǔn)線,為焦點的拋物線,…………………………………………6分
所以點的軌跡的方程為………………………………………………………7分
(3)因為以為直徑的圓與相交于點,所以,即…8分
設(shè),,,
所以
因為,,化簡得……………………………………9分
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)即,時等號成立.…………………………10分
圓的直徑
因為,所以當(dāng)即時,,…………………11分
所以所求圓的面積的最小時,點的坐標(biāo)為………………………………12分
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)a=﹣2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若g(x)= +在1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(I)求證:恒成立;
(II)若存在實數(shù),使得,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(I)求證:恒成立;
(II)若存在實數(shù),使得,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】定義的零點為的不動點,已知函數(shù).
Ⅰ.當(dāng)時,求函數(shù)的不動點;
Ⅱ.對于任意實數(shù),函數(shù)恒有兩個相異的不動點,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ.若函數(shù)只有一個零點且,求實數(shù)的最小值.
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【題目】下列4個命題:
①為了了解800名學(xué)生對學(xué)校某項教改試驗的意見,打算從中抽取一個容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔為40;
②四邊形為長方形,,,為中點,在長方形內(nèi)隨機取一點,取得的點到的距離大于1的概率為;
③把函數(shù)的圖象向右平移個單位,可得到的圖象;
④已知回歸直線的斜率的估計值為,樣本點的中心為,則回歸直線方程為.
其中正確的命題有__________.(填上所有正確命題的編號)
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的普通方程;
(2)經(jīng)過點(平面直角坐標(biāo)系中點)作直線交曲線于兩點,若恰好為線段的三等分點,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證: ;
(3)求證:當(dāng)時, , 恒成立.
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