Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）（ⅰ）求證：；

（ⅱ）設，當時，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，過原點分別作曲線與的切線，已知兩切線的斜率互為倒數，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（�。┰斠娊馕�；（ⅱ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）（�。�構造函數，通過求導分析單調性，利用最值即可證明；

（ⅱ）由，當時，利用可得函數單調性從而知成立，當時求導分析單調性找到反例知不成立，從而得解；

（Ⅱ）設切線的方程為，切點為，則，，可得的的方程為，設與曲線的切點為，通過求導列方程可得，令，求導利用單調性即可證得.

（Ⅰ）（�。┳C明：令，

則，

所以時，，時，

所以，即.

（ⅱ），

.

a.當時，由（Ⅰ）知，

所以，

所以在［上遞增，

則恒成立，符合題意．

b．當時，令，則

，所以在上遞增，且，則存在，使得.

所以在上遞減，在上遞增；

又，所以不恒成立，不合題意．

綜合a，b可知，所求實數a的取值范圍是．

（Ⅱ）證明：設切線的方程為，切點為，則，，

所以，， 則.

由題意知，切線的斜率為，的的方程為.

設與曲線的切點為，

則，

所以，.

又因為，

消去和a后 ，整理得.

令，

則，

易知在上單調遞減， 在上單調遞增 ．

若，因為

，，所以 ，

而，在上單調遞減，

所以.

若，因為在上單調遞增，且，則，所以（舍去）.

綜上所述：.