Question

已知實(shí)數(shù)a，b是常數(shù)，f（x）=（x+a）²-7blnx+1．
（Ⅰ）若b=1時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．；
（Ⅱ）當(dāng)b=

4

7

a²時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)n是正整數(shù)，證明：ln（n+1）⁷＜（1+

1

22

+…+

1

n2

）+7（1+

1

2

+…+

1

n

）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由b=1，故f（x）=（x+a）²-7lnx+1，得f′(x)=2x+2a-

7

x

．從而a≥

7

2x

-x在x＞1時(shí)恒成立．由當(dāng)x＞1時(shí)，y=

7

2x

-x是減函數(shù)，從而當(dāng)x＞1時(shí)，

7

2x

-x＜

5

2

，進(jìn)而求出a的范圍；
（II）由b=

4

7

a2，故f（x）=（x+a）²-4a²lnx+1，x∈（0，+∞），求出f′(x)=

2x2+2ax-4a2

x

=

2(x-a)(x+2a)

x

，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，a）增區(qū)間為（a，+∞）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，-2a）增區(qū)間為（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，當(dāng)a=

5

2

時(shí)，f(x)=(x+

5

2

)2-7lnx+1在（1，+∞）是增函數(shù)．
x＞1時(shí)，f（x）＞f（1），從而x²+5x-6＞7lnx，得到

n+1

n

＞1，通過(guò)整理變形不等式得證．

解答： 解（Ⅰ）∵b=1，故f（x）=（x+a）²-7lnx+1，
∴f′(x)=2x+2a-

7

x

．
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
∴f′(x)=2x+2a-

7

x

≥0在x＞1時(shí)恒成立．
即a≥

7

2x

-x在x＞1時(shí)恒成立．
∵當(dāng)x＞1時(shí)，y=

7

2x

-x是減函數(shù)，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，

7

2x

-x＜

5

2

，
∴a≥

5

2

．
（II）∵b=

4

7

a2，故f（x）=（x+a）²-4a²lnx+1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)=

2x2+2ax-4a2

x

=

2(x-a)(x+2a)

x

，
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）
當(dāng)a＞0時(shí)，∴f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-2a，
∴f（x）的減區(qū)間為（0，a），增區(qū)間為（a，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，∴f'（x）＞0⇒x＞-2a或x＜a，
∴f（x）的減區(qū)間為（0，-2a），增區(qū)間為（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，
當(dāng)a=

5

2

時(shí)，
f(x)=(x+

5

2

)2-7lnx+1在（1，+∞）是增函數(shù)．
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1），
即(x+

5

2

)2-7lnx+1＞

53

4

，
∴x²+5x-6＞7lnx
∵n∈N*，∴

n+1

n

＞1，
∴(1+

1

n

)2+5(1+

1

n

)-6＞7ln

n+1

n

，
即

1

n2

+7

1

n

＞7[ln(n+1)-lnn]，
∴(

1

12

+

7

1

)+(

1

22

+

7

2

)…(

1

n2

+

7

n

)＞
7[ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn]
=7ln（n+1），
∴ln(n+1)7＜(1+

1

22

+…+

1

n2

)+7(1+

1

2

+…+

1

n

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，不等式的證明，是一道綜合題．