Question

給出四個(gè)等式：
1=1
1-4=-（1+2）
1-4+9=1+2+3
1-4+9-16=-（1+2+3+4）
…
（1）寫出第5，6個(gè)等式，并猜測(cè)第n（n∈N^*）個(gè)等式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測(cè)的等式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）本題考查歸納推理，解題時(shí)要認(rèn)真分析題意中的等式，發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，注意驗(yàn)證即可；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明步驟即可證明．

解答： 解：（1）第5行  1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------（2分）
第6行  1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------（4分）
第n行等式為：
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1n²=（-1）^n-1•（1+2+3+…+n）．-------------（6分）
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1²=1，
右邊=（-1）⁰×

1×(1+1)

2

=1，左邊=右邊，等式成立．--------------------（8分）
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立，即1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1k²=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1k²+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k（k+1）•[（k+1）-

k

2

]
=（-1）^k•

(k+1)[(k+1)+1]

2

．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立
根據(jù)①②可知，對(duì)于任何n∈N^*等式均成立．--------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立，本題是一個(gè)中檔題目．