Question

設(shè)整數(shù)n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的兩個(gè)非空子集．記a_n為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)．
（1）求a₃；
（2）求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,子集與真子集

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=3時(shí)，P={1，2，3 }，由此能求出a₃=5．
（2）設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中1≤k≤n-1，整數(shù)n≥3，則A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，
B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，P={1，2，3 }，
其非空子集為：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
則所有滿足題意的集合對(duì)（A，B）為：
（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），
（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5對(duì)，
∴a₃=5．…（3分）
（2）設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中1≤k≤n-1，整數(shù)n≥3，
則A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，
可在A中，故A的個(gè)數(shù)為：

C

0 k-1

+C

1 k-1

+…

+C

k-1 k-1

=2k-1，…（5分）
B中必不含元素1，2，…，k，
另元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中，
故B的個(gè)數(shù)為：

C

1 n-k

+C

2 n-k

+…

+C

n-k n-k

=2^n-k-1，…（7分）
從而集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)為2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，
∴a_n=

n-1

k=1

（2^n-1-2^k-1）
=(n-1)•2n-1-

1-2n-1

1-2

=（n-2）•2^n-1+1．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的第3項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．