Question

已知f（x）=ax³+bx²+2x，在x=-1處取得極值，且在點（1，f（1））處的切線斜率為2．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在區(qū)間[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1處取得極值，且在點（1，f（1）處的切線的斜率為2．我們易得f'（-1）=0，f'（1）=2，由此構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可得到答案．
（2）根據(jù)（I）的結(jié)論我們易化簡關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0，構(gòu)造函數(shù)g（x）分析函數(shù)的單調(diào)性后，我們可將關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為不等式問題，解關(guān)于m的不等式組，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+2；
由題意，得

f′(-1)=0 f′(1)=2

，
∴

3a-2b+2=0 3a+2b+2=2

，
∴

a=- 1 3 b= 1 2

．
∴f′（x）=-（x-2）（x+1），
由f′（x）＞0得-1＜x＜2；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，2）．
（2）由（1）知f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2x；
∴f（x）+x³-2x²-x+m=0⇒

2

3

x³-

3

2

x²+x+m=0；
令g（x）=

2

3

x³-

3

2

x²+x+m；
則g′（x）=（x-1）（2x-1），由g′（x）=0得x₁=1，x₂=

1

2

；
當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	m+ 5 24	↓	極小值	↑	m+ 4 3

當x=1時，g（x）_極小值=g（1）=m+

1

6

關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在區(qū)間[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，
∴

m+ 5 24 ≥0 m+ 1 6 ＜0 m+ 4 3 ≥0

，
∴-

5

24

≤m＜-

1

6

．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，其中根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．