Question

6．已知函數f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在（m，1）上的奇函數（a，b，m為常數），且f（2）=$\frac{4}{5}$．
（1）確定函數f（x）的解析式及定義域；
（2）判斷并利用定義證明f（x）在（m，1）的單調性．
（3）若對任意t∈[-2，2]，是否存在實數x使f（tx-2）+f（x）＜0恒成立？若存在則求出實數x的取值范圍，若不存在則說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據奇函數定義域關于原點對稱，f（0）=0，求出m，b的值；
（2）利用定義法任取實數x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＞x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的正負即可；
（3）由題意可知對任意的t∈[-2，2]，-1＜tx-2＜1，可以看成關于t的一次函數，可得-1＜-2x-2＜1且-1＜2x-2＜1，解得x無解．

解答 解：（1）函數f（x）是定義在（m，1）上的奇函數，
∴m=-1．由f（0）=0，得b=0，
又由f（2）=$\frac{2a}{5}$=$\frac{4}{5}$，得a=2．
即f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，定義域為（-1，1）┉．┉┉（4分）
（2）判定：函數f（x）在（-1，1）上單調遞增．┉┉┉（5分）
證明：任取實數x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＞x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$．┉┉┉（6分）
∵-1＜x₂＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＞0，
∴函數f（x）在（-1，1）上單調遞增；（8分）
（3）函數f（x）定義域為（-1，1）
∴對任意的t∈[-2，2]，-1＜tx-2＜1，
∴-1＜-2x-2＜1且-1＜2x-2＜1，
∴x無解，故這樣的x不存在．

點評 考查了奇函數的性質，單調性的證明和復合函數單調性問題．