17.已知函數(shù)f(x-1)=x2-4x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)及f(2x+1)的解析式;
(Ⅱ)(i)若f(x)在區(qū)間[2m,m+1]上不具有單調(diào)性,求實數(shù)m的取值范圍;
(ii)若對于任意的x0∈[0,2],總存在t∈{x|$\frac{2a}{x+5+a}$≥1},使得f(2x0+1)=t成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用換元法和代入法即可求函數(shù)f(x)及f(2x+1)的解析式;
(Ⅱ)(i)根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),判斷對稱軸的范圍即可.
(ii)先求出f(2x0+1)=t成立的t的取值范圍,結(jié)合t的關(guān)系進行求解即可.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)t=x-1,則x=t+1,
則f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3,
即f(x)=x2-2x-3.
則f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4.
(Ⅱ)(i)∵f(x)=x2-2x-3的對稱軸為x=1,
∴若f(x)在區(qū)間[2m,m+1]上不具有單調(diào)性,
則2m<1<m+1,
即$\left\{\begin{array}{l}{m<\frac{1}{2}}\\{m>0}\end{array}\right.$,即0<m<$\frac{1}{2}$,即實數(shù)m的取值范圍是(0,$\frac{1}{2}$).
(ii)∵f(2x+1)=4x2-4.
∴f(2x0+1)=t得4x02-4=t.
∵x0∈[0,2],
∴-4≤t≤12,
由$\frac{2a}{x+5+a}$≥1得a≠0,
且$\frac{2a}{x+5+a}$-1=$\frac{a-5-x}{x+5+a}$≥0,
即$\frac{x+5-a}{x+5+a}$≤0,
若a>0,則不等式的解為-5-a<x≤a-5,
若a<0,則不等式的解為a-5≤x<-5-a,
∵t∈{x|$\frac{2a}{x+5+a}$≥1},
∴若a>0,則$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{-5-a<-4}\\{a-5≥12}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{a>-1}\\{a≥17}\end{array}\right.$得a≥17,
若a<0,則$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{a-5<-4}\\{-5-a≥12}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{a<1}\\{a≤-17}\end{array}\right.$得a≤-17,
即a≥17或a≤-17
即實數(shù)a的取值范圍是a≥17或a≤-17.

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解,一元二次函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生的運算和推理能力.

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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式
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