如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中點，△A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點，E為BC上一點．
（1）若DE∥平面A1MC1，求
CE
EB
；
（2）求直線BC和平面A1MC1所成角的余弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的性質
專題：空間角
分析：（1）取BC中點N，連結MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四點共面，由已知條件推導出DE∥C1N，從而求出
CE
EB
=
1
3
．
（2）連結B1M，由已知條件得四邊形ABB1A1為矩形，B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，由此能求出直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
解答： 解：（1）取BC中點N，連結MN，C1N，…（1分）
∵M，N分別為AB，CB中點
∴MN∥AC∥A1C1，
∴A1，M，N，C1四點共面，…（3分）
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，
又DE∩平面BCC1B1，
且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，
∵D為CC1的中點，∴E是CN的中點，…（5分）
∴
CE
EB
=
1
3
．…（6分）
（2）連結B1M，…（7分）
因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，即四邊形ABB1A1為矩形，且AB=2AA1，
∵M是AB的中點，∴B1M⊥A1M，
又A1C1⊥平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1M，從而B1M⊥平面A1MC1，…（9分）
∴MC1是B1C1在平面A1MC1內(nèi)的射影，
∴B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，
又B1C1∥BC，
∴直線BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角…（10分）
設AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形
∴A1M=A1C1=
2
，則MC1=2，B1C1=
6
，
∴cos∠B1C1M=
MC1
B1C1
=
6
3
，
∴直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為
6
3
．…（12分）
點評：本題考查兩條線段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=
x2+ax+4
x
（x＞0）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增；
（2）A={x|x2-5x+4＜0}，B={x|f（x）＜2}，若B⊆A，求a的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若2f（x）+
lnx
x
≥0對于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

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已知a＞0且a≠1，設命題p：對數(shù)函數(shù)y=logax在R+上單調(diào)遞減，命題q：曲線y=x2+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點，如果“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求a的取值范圍．

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某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、汽油等費用為0.9萬元；汽車的維修費用各年為：第一年0.2萬元，以后每年以0.2萬元的增量逐年遞增．
（1）寫出該種汽車使用n年后總費用Sn的表達式
（2）問這種汽車使用多少年報廢最合算（平均費用最少）？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=t＞1，an+1=
n+1
n
an．函數(shù)f（x）=ln（1+x）+mx2-x（m∈[0，
1
2
]）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若m=
1
2
，數(shù)列{bn}滿足bn=f（an）+an，求證：
2
an+2
＜
an
bn
＜1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）當x∈（
1
2
，1）時，f（x）≤g（x）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是A1A、B1B的中點．
（1）求直線CM與A1C1所成角的正弦值；
（2）求直線D1N與平面A1ABB1所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線x2=4
2
y的焦點重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分布是橢圓的左、右焦點，離心率e=
3
3
，過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當
OM
•
ON
=-1時，求直線l的方程；
（Ⅲ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，MN∥AB，是否存在常數(shù)λ，使|AB|=λ
|MN|
？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習冊答案