已知函數(shù)f(x)=
x2+ax+4
x
(x>0).
(1)求證:函數(shù)f(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增;
(2)A={x|x2-5x+4<0},B={x|f(x)<2},若B⊆A,求a的取值范圍.
考點(diǎn):集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:不等式的解法及應(yīng)用,集合
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f′(x)≥0恒成立,得到函數(shù)f(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增;
(2)解不等式求出集合A,B,根據(jù)集合子集的定義,結(jié)合B⊆A分類討論滿足條件的a的取值范圍.
解答: 證明:(1)∵f(x)=
x2+ax+4
x
(x>0).
∴f′(x)=
x2-4
x2
,
當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f′(x)≥0恒成立,
故函數(shù)f(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增;
(2)∵A={x|x2-5x+4<0}=(1,4),
f(x)<2,即x2+(a-2)x+4<0,
當(dāng)△=(a-2)2-16<0,
即-2<a<6時(shí),B=∅,滿足B⊆A,
當(dāng)△=(a-2)2-16≥0,
即a≤-2或a≥6時(shí),B≠∅,
令h(x)=x2+(a-2)x+4,
若B⊆A,則
h(1)≥0
h(4)≥0
△=(a-2)2-16≥0
1≤
2-a
2
≤4

解得-3≤a≤-2,
綜上所述a的取值范圍為[-3,6)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,是函數(shù)圖象與性質(zhì),不等式與集合的綜合應(yīng)用,難度中檔.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若雙曲線x2+
y2
m
=1的一條漸近線的傾斜角α∈(0,
π
3
),則m的取值范圍是( 。
A、(-3,0)
B、(-
3
,0)
C、(0,3)
D、(-
3
3
,0)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
f1(x) , x≤0
f2(x), x>0
,則下列命題正確的是( 。
A、若y=f1(x)(x≤0)是增函數(shù),y=f2(x)(x>0)是減函數(shù),則y=f(x)存在最大值
B、若y=f(x)存在最大值,則y=f1(x)(x≤0)是增函數(shù),y=f2(x)(x>0)是減函數(shù)
C、若y=f1(x)(x≤0),y=f2(x)(x>0)均為減函數(shù),則y=f(x)是減函數(shù)
D、若y=f(x)是減函數(shù),則y=f1(x)(x≤0),y=f2(x)(x>0)均為減函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E為PB的中點(diǎn)AC與BD交于點(diǎn)M,
(1)求證:ME∥PD;
(2)當(dāng)PD=
2
AB,求AE與平面PBD所成的角的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字0,1,2,3,4,5)和一個(gè)正四面體(四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4)同時(shí)拋擲1次,規(guī)定“正方體向上的面上的數(shù)字為a,正四面體的三個(gè)側(cè)面上的數(shù)字之和為b”.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b)
(1)若集合A={(a,b)|點(diǎn)M在y軸上},用列舉法表示集合A;
(2)求事件“點(diǎn)(a,b)不在圓x2+(y-6)2=9外部”發(fā)生的概率P.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2
n
(n∈N+).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AD=1,AB=2,點(diǎn)F在PB上,且AF=PF=FB=
2
,面PAB⊥面ABCD,點(diǎn)E在BC上.
(1)確定點(diǎn)E的位置,使EF∥平面PAC;
(2)在(1)的條件上,求幾何體PADCEF的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中點(diǎn),△A1MC1是等腰三角形,D為CC1的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn).
(1)若DE∥平面A1MC1,求
CE
EB
;
(2)求直線BC和平面A1MC1所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案