Question

10．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，且f（2）=0，則不等式f（x）•x＞0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由條件可得到f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，f（2）=f（-2）=0，從而解f（x）•x＞0可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＞f（2）}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＜f（-2）}\\{x＜0}\end{array}\right.$，這樣根據(jù)f（x）的單調(diào)性便可得出x的范圍，即得出原不等式的解集．

解答 解：由f（x）•x＞0得，$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＜0}\\{x＜0}\end{array}\right.$；
∵f（x）為偶函數(shù)，在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，且f（2）=f（-2）=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＞f（2）}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＜f（-2）}\\{x＜0}\end{array}\right.$；
∴x＞2，或-2＜x＜0；
∴不等式f（x）•x＞0的解集為（-2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）．

點評 考查偶函數(shù)的定義，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義解不等式的方法．