Question

4．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且b，ccosA，acosC成等差數(shù)列．
（1）求$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{^{2}}$的值；
（2）若c=$\sqrt{5}$，tanA=$\frac{1}{2}$，求邊a的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2ccosA=acosC+b，結(jié)合余弦定理，化簡(jiǎn)即可得解．
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2ccosA=acosC+b，利用正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得tanC=2tanA=1，利用正弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵b，ccosA，acosC成等差數(shù)列，
∴2ccosA=acosC+b，
∴2c•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=a•$\frac{^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+b
∴3（c²-a²）=b²，可得：$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
 （2）∵b，ccosA，acosC成等差數(shù)列，
∴2ccosA=acosC+b，
⇒2sinCcosA=sinAcosC+sinB=sinAcosC+sin（A+C）
⇒2sinCcosA=sinAcosC+sinAcosC+cosAsinC
⇒sinCcosA=2sinAcosC
⇒tanC=2tanA=1，
$\begin{array}{l}又sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sinC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\\∴由\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}得a=\frac{csinA}{sinC}=\sqrt{2}.\end{array}$
注：第（2）問(wèn)可對(duì)角A用余弦定理再得三邊一等量關(guān)系，并聯(lián)立第（1）問(wèn)結(jié)果解關(guān)于a，b的方程組可解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．