Question

14．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，當(dāng)$x∈[\frac{π}{12}，π]$時，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用倍角公式，輔助角公式化簡函數(shù)式，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出g（x）的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象求其值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+cos²x+2sinxcosx+cos2x-2
=$sin2x+cos2x-1=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，
當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$時，
解得，$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}，k∈Z$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，
縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)$g（x）=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）-1$，
當(dāng)$x∈[\frac{π}{12}，π]$時，$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{4}]$，
①當(dāng)$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{4}$時，g（x）取得最大值，g（x）_max=$\sqrt{2}$-1；
②當(dāng)$x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，即x=π時，g（x）取得最小值，g（x）_min=-2，
故函數(shù)g（x）的值域為$[-2，\sqrt{2}-1]$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及三角函數(shù)恒等變形，單調(diào)性和最值，以及函數(shù)圖象變換，屬于中檔題．