Question

4．已知圓C：x²+y²-2x+4y=0，若直線l：y=k（x-3）．
（1）若直線l過圓C的圓心，求直線l在y軸上的截距；
（2）若圓C被直線l截得的弦長大于4，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓心和半徑，圓心代入直線l：y=k（x-3），求出k，即可求直線l在y軸上的截距；
（2）若圓C被直線l截得的弦長大于4，則圓心到直線的距離小于1，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）圓的方程可以化作（x-1）²+（y+2）²=5，所以圓心坐標(biāo)是（1，-2），半徑是$\sqrt{5}$．
∵直線l過圓C的圓心，
∴-2=-2k，
∴k=1，
∴直線l：y=x-3．
x=0，y=3，即直線l在y軸上的截距為3；
（2）圓C被直線l截得的弦長大于4，則圓心到直線的距離小于1，
∴$\frac{|-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程不同形式的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．