Question

如圖，已知平行四邊形ABCD和平行四邊形ACEF所在的平面相交于直線AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=

3

．
（Ⅰ）求證：AC⊥BF
（Ⅱ）求二面角F-BD-A的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以CD為x軸，CA為y軸，以CE為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥BF．
（Ⅱ）求出平面ABD的一個(gè)法向量和平面FBD的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角F-BD-A的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵CD=AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=

3

，
∴AC=

3

，滿足CD²+CA²=AD²，
∴CD⊥CA，…（2分）
又EC⊥平面ABCD，故以CD為x軸，CA為y軸，
以CE為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），D（1，0，0），
A（0，

3

，0），F(xiàn)（0，

3

，

3

），
B（-1，

3

，0）…（4分）
∴

CA

=(0，

3

，0)，

BF

=（1，0，

3

），

DF

=（-1，

3

，

3

），
∴

CA

•

BF

=0，∴AC⊥BF．…（6分）
（Ⅱ）平面ABD的一個(gè)法向量

n

=(0，0，1)，
設(shè)平面FBD的一個(gè)法向量

m

=(x，y，z)
且

DB

=(-2，

3

，0)，

DF

=（-1，

3

，

3

），
由

m • DB =0 m • DF =0

得

-2x+ 3 y=0 -x+ 3 y+ 3 z=0

…（8分）
∴

x= 3 2 y y=-2z

，令z=1得

m

=（-

3

，-2，1），…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

4

，
故所求二面角F-BD-A的大小為arccos

2

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．