如圖，已知平行四邊形ABCD和平行四邊形ACEF所在的平面相交于直線AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=
3
．
（Ⅰ）求證：AC⊥BF
（Ⅱ）求二面角F-BD-A的大�。�
考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）以CD為x軸，CA為y軸，以CE為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AC⊥BF．
（Ⅱ）求出平面ABD的一個法向量和平面FBD的一個法向量，利用向量法能求出二面角F-BD-A的大小．
解答： （Ⅰ）證明：∵CD=AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=
3
，
∴AC=
3
，滿足CD2+CA2=AD2，
∴CD⊥CA，…（2分）
又EC⊥平面ABCD，故以CD為x軸，CA為y軸，
以CE為z軸建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），D（1，0，0），
A（0，
3
，0），F(xiàn)（0，
3
，
3
），
B（-1，
3
，0）…（4分）
∴
CA
=(0，
3
，0)，
BF
=（1，0，
3
），
DF
=（-1，
3
，
3
），
∴
CA
•
BF
=0，∴AC⊥BF．…（6分）
（Ⅱ）平面ABD的一個法向量
n
=(0，0，1)，
設平面FBD的一個法向量
m
=(x，y，z)
且
DB
=(-2，
3
，0)，
DF
=（-1，
3
，
3
），
由
m
•
DB
=0
m
•
DF
=0
得
-2x+
3
y=0
-x+
3
y+
3
z=0
…（8分）
∴
x=
3
2
y
y=-2z
，令z=1得
m
=（-
3
，-2，1），…（10分）
∴cos＜
m
，
n
＞=
2
4
，
故所求二面角F-BD-A的大小為arccos
2
4
．…（12分）
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
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已知點A（1，1），B（1，-1），C（
2
cosθ，
2
sinθ）（θ∈R），O為坐標原點．
（1）若實數(shù)m，n滿足m
OA
+n
OB
=2
OC
，求m2+n2；
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sinα-4cosα
5sinα+2cosα
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某校設計了一個實驗考察方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的便可通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是
2
3
，且每題正確完成與否互不影響．
（Ⅰ）求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算其數(shù)學期望；
（Ⅱ）請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率為
3
的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R點，且
OP
•
OQ
=-3，
PR
=3
RQ
，求直線與雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設計一個算法，求y=
0，(x＜0)
1，(0≤x＜1)
x，(x≥1)
，并畫出程序框圖．

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已知函數(shù)f（x）=ex+e-x．
（1）判斷并證明f（x）的單調性；
（2）若et[f（2t）+2]+mf（t）≥0對于t∈[0，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
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