一條斜率為1的直線l與離心率為
3
的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R點，且
OP
•
OQ
=-3，
PR
=3
RQ
，求直線與雙曲線的方程．
考點：雙曲線的標準方程
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：由離心率化簡雙曲線方程，設出直線l方程，代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關系，代入2個關于向量的等式求待定系數(shù)．
解答： 解：∵e=
3
，∴b=2a2，
∴雙曲線方程可化為2x2-y2=2a2，（2分）
設直線方程為y=x+m，
由
y=x+m
2x2-y2=2a2
得x2-2mx-m2-2a2=0．（4分）
∵△=4m2+4（m2+2a2）＞0，
∴直線一定與雙曲線相交，（6分）
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
則x1+x2=2m，x1x2=-m2-2a2，
∵
PR
=3
RQ
，
∴xR=
x1+3x2
4
，x1=-3x2，
∴x2=-m，-3x22=-m2-2a2，
消去x2得，m2=a2，（8分）
OP
•
OQ
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）
=2x1x2+m（x1+x2）+m2=m2-4a2=-3，（10分）
∴m=±1，a2=1，b2=2，直線方程為y=x±1，
雙曲線方程為x2-
y2
2
=1．   （12分）
點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)、向量運算、直線與雙曲線的位置關系．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

學校在高二開設了當代戰(zhàn)爭風云、投資理財、汽車模擬駕駛與保養(yǎng)、硬筆書法共4門選修課，每個學生必須且只需選修1門選修課，對于該年級的甲、乙、丙3名學生．
（Ⅰ）求這3名學生選擇的選修課互不相同的概率；
（Ⅱ）求恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知p：|x-a|＜4；q：（x-2）（x-3）＜0，若￢p是￢q的充分不必要條件，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B．Q為拋物線y2=12x的焦點，且
F1B
•
QB
=0，2
F1F2
+
QF1
=0．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過定點P（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點（M在P，N之間），設直線l的斜率為k（k＞0），在x軸上是否存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知平行四邊形ABCD和平行四邊形ACEF所在的平面相交于直線AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=
3
．
（Ⅰ）求證：AC⊥BF
（Ⅱ）求二面角F-BD-A的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）滿足：
①在x=1時有極值；
②圖象過點（0，3），且在該點處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x2）在[-2，2]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，設雙曲線C1：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的上焦點為F，上頂點為A，點B為雙曲線虛軸的左端點，已知Cl的離心率為
2
3
3
，且△ABF的面積S=1-
3
2
．
（Ⅰ）求雙曲線Cl的方程；
（Ⅱ）設拋物線C2的頂點在坐標原點，焦點為F，動直線l與C2相切于點P，與C2的準線相交于點Q試推斷以線段PQ為直徑的圓是否恒經(jīng)過y軸上的某個定點M？若是，求出定點M的坐標；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為常實數(shù)）．
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當x∈[1，e]時，f（x）≤a+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a，b，c成等比數(shù)列，公比為3，且a，b+2，c成等差數(shù)列，則b=
 
．

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