Question

8．某企業(yè)員工共500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng)，按年齡分組：第一組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

區(qū)間	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人數(shù)	50	50	a	150	b

（1）表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估算該企業(yè)員工的平均年齡及年齡的中位數(shù)；
（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．

Answer 1

分析 （I）由題設(shè)中頻率分布直方圖再結(jié)合頻率、頻數(shù)及樣本容量之間的關(guān)系可得a、b的值；
（II）根據(jù)估計(jì)平均數(shù)及估計(jì)中位數(shù)的求解公式即可求解；
（III）根據(jù)分成抽樣的定義知：第1，2，3組各部分的人數(shù)的比例為1：1：4，則共抽取6人時(shí)，所以第1，2，3組三個(gè)年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)為1，1，4，設(shè)第1組的1位同學(xué)為A，第2組的1位同學(xué)為B，第3組的4位同學(xué)為C₁，C₂，C₃，C₄，列出所有情況，根據(jù)古典概型運(yùn)算公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50，
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖可得，平均年齡為$\overline{x}$=（ 27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5，
估計(jì)中位數(shù)為：35+$\frac{0.3}{0.4}$=35.75，
（III）因?yàn)榈?，2，3組共有50+50+200=300人，
利用分層抽樣在300名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組抽取的人數(shù)分別為：
第1組的人數(shù)為6×$\frac{50}{300}$=1
第2組的人數(shù)為6×$\frac{50}{300}$=1
第3組的人數(shù)為$6×\frac{200}{300}$=4         
設(shè)第1組的1位同學(xué)為A，第2組的1位同學(xué)為B，第3組的4位同學(xué)為C₁，C₂，C₃，C₄，
則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有：（A，B），（A，C₁），（A，C₂），（A，C₃），（A，C₄），（B，C₁），（B，C₂），（B，C₃），（B，C₄），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，C₄），（C₂，C₃），（C₂，C₄），（C₃，C₄），共15種可能．
其中2人年齡都不在第3組的有：（A，B），共1種可能，
所以至少有1人年齡在第3組的概率為1-$\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等可能事件的概率及分層抽樣方法，考查對(duì)立事件的概率，在考慮問題時(shí)，若問題從正面考慮比較麻煩，可以從它的對(duì)立事件來考慮