Question

17．已知函數(shù)f（x）定義在R上，且周期為3，當(dāng)1≤x≤3時，f（x）=x²+4．
（1）求f（5）+f（7）的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=mx²（m∈R）在區(qū)間[4，6]有實根，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的周期為3知f（5）+f（7）=f（2）+f（1）=4+4+1+4=13；
（2）x∈[4，6]時，f（x）=f（x-3）=（x-3）²+4；從而化簡方程f（x）=mx²為（x-3）²+4=mx²，從而得到m=$\frac{{x}^{2}-6x+13}{{x}^{2}}$=13（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{13}$）²+$\frac{4}{13}$，從而解得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的周期為3，
∴f（5）+f（7）=f（2）+f（1）=4+4+1+4=13；
（2）x∈[4，6]時，f（x）=f（x-3）=（x-3）²+4；
故方程f（x）=mx²可化為（x-3）²+4=mx²，
故m=$\frac{{x}^{2}-6x+13}{{x}^{2}}$
=13（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{13}$）²+$\frac{4}{13}$，
∵4≤x≤6，
∴$\frac{4}{13}$≤13（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{13}$）²+$\frac{4}{13}$≤$\frac{13}{36}$，
即$\frac{4}{13}$≤m≤$\frac{13}{36}$．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及獨立系數(shù)法求取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．