Question

【題目】已知拋物線，為拋物線上的點(diǎn)，若直線經(jīng)過點(diǎn)且斜率為，則稱直線為點(diǎn)的“特征直線”.設(shè)、為方程（）的兩個實根，記.

（1）求點(diǎn)的“特征直線”的方程；

（2）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的“特征直線”與雙曲線經(jīng)過二、四象限的漸進(jìn)線垂直，且與軸的交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn).求證：；

（3）已知、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個不同的點(diǎn)，點(diǎn)、的“特征直線”分別為、，直線、相交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn)、.求證：點(diǎn)在線段上的充要條件為（其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）計算的斜率為1，再計算直線方程得到答案.

（2）根據(jù)與漸近線垂直得到，線段的方程為，得到，代入方程得到，，計算得到.

（3））設(shè)，，得到所對應(yīng)的方程為：計算得到，分別證明充分性和必要性得到答案.

（1）由題意的斜率為1，所以點(diǎn)的“特征直線”的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)，由于雙曲線所求漸進(jìn)線的斜率為

所以，進(jìn)而得，線段的方程為

所以滿足

所對應(yīng)方程為：，解得，

因為，所以，進(jìn)而

（3）設(shè)，，

則、的方程分別為，，

解、交點(diǎn)可得，，

所對應(yīng)的方程為：，

必要性：因為點(diǎn)在線段上

當(dāng)時，，得，

當(dāng)時，，得，

所以，進(jìn)而

①充分性：由，得，

當(dāng)時，，得，

當(dāng)時，得，得，

所以點(diǎn)在線段上.

綜上所述：點(diǎn)在線段上的充要條件為