【題目】設(shè)橢圓：（）的右焦點為，短軸的一個端點到的距離等于焦距．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)、是四條直線，所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個頂點，是橢圓上任意一點，若，求證：為定值；

（3）過點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且滿足△與△的面積的比值為，求直線的方程．

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點坐標求得，根據(jù)短軸端點到焦點的距離求得，由此求得，進而求得橢圓的標準方程.

（2）求得的坐標，設(shè)出點坐標，結(jié)合向量的坐標運算，由求得，也即求得點坐標，將其代入橢圓，化簡后證得為定值.

（3）將三角形和三角形的面積的比值，轉(zhuǎn)化為邊長的比值，即.當直線斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性可知，不符合題意.當直線的斜率不存在時，設(shè)出直線的方程.代入橢圓方程，化簡后寫出韋達定理.由，求得，代入韋達定理，由此解方程求得的值，進而求得直線的方程.

（1）由已知，，

又，故，

所以，，所以，橢圓的標準方程為．

（2），，

設(shè)，則，

由已知，即，

所以 ，所以，化簡得為定值．

（3）等價于，

當直線的斜率不存在時，，不合題意．

故直線的斜率存在，設(shè)：，

由消去，得，

設(shè)，，則①，②，

由，得，，將其代入①②，得③，④.將③代入④，化簡得，解得．

所以，直線的方程為．

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x），g（x）滿足關(guān)系g（x）=f（x）f（x+α），其中α是常數(shù)．

（1）設(shè)f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；

（2）設(shè)計一個函數(shù)f（x）及一個α的值，使得；

（3）當f（x）=|sinx|+cosx，時，存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，為拋物線上的點，若直線經(jīng)過點且斜率為，則稱直線為點的“特征直線”.設(shè)、為方程（）的兩個實根，記.

（1）求點的“特征直線”的方程；

（2）已知點在拋物線上，點的“特征直線”與雙曲線經(jīng)過二、四象限的漸進線垂直，且與軸的交于點，點為線段上的點.求證：；

（3）已知、是拋物線上異于原點的兩個不同的點，點、的“特征直線”分別為、，直線、相交于點，且與軸分別交于點、.求證：點在線段上的充要條件為（其中為點的橫坐標）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】棋盤上標有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.

（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出定理：在圓錐曲線中，是拋物線的一條弦，是的中點，過點且平行于軸的直線與拋物線的交點為.若兩點縱坐標之差的絕對值，則的面積，試運用上述定理求解以下各題：

（1）若，所在直線的方程為，是的中點，過且平行于軸的直線與拋物線的交點為，求；

（2）已知是拋物線的一條弦，是的中點，過點且平行于軸的直線與拋物線的交點為，分別為和的中點，過且平行于軸的直線與拋物線分別交于點，若兩點縱坐標之差的絕對值，求和；

（3）請你在上述問題的啟發(fā)下，設(shè)計一種方法求拋物線：與弦圍成成的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.

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【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，且的周長為12．

（Ⅰ）求橢圓的方程

（Ⅱ）過點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，，試判斷在軸上是否存在點，使得是以為底邊的等腰三角形若存在，求點橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實的需要，從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（），項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高

（1）若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務(wù)工作？

（2）在（1）的條件下，當從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時，才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)的圖象過點和點.

（1）求函數(shù)的最大值與最小值；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象；已知點，若函數(shù)的圖象上存在點，使得，求函數(shù)圖象的對稱中心.

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【題目】如果實系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù)．

（1）設(shè)不等式和的解集分別是、，試問是的什么條件？并說明理由．

（2）在實數(shù)集中，方程和的解集分別為和，試問是的什么條件？并說明理由．

（3）在復(fù)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，證明：是的充要條件．

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