Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=1，且滿足對任意的n∈N^*，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，則a₂₀₁₄=（　�。�

• A、2²⁰¹⁴-1
• B、2²⁰¹⁴+1
• C、2²⁰¹⁵-1
• D、2²⁰¹⁵+1

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，得a_n+2-a_n+1+a_n+1-a_n≥3×2ⁿ，結(jié)合a_n+1-a_n≤2ⁿ得an+1-an+2≥-2×2n，則
得到a_n+1-a_n≥2ⁿ，進(jìn)一步得到an+1-an=2n．然后利用累加法求出數(shù)列{a_n}的通項公式，則答案可求．

解答： 解：由a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，得
a_n+2-a_n+1+a_n+1-a_n≥3×2ⁿ ①，
且an+2-an+1≤2×2n，
即an+1-an+2≥-2×2n  ②，
①+②得：a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴an+1-an=2n．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2¹+1
=

1-2n

1-2

=2n-1．
∴a2014=22014-1．
故選：A．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列與不等式的綜合，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，由兩不等式聯(lián)立得到an+1-an=2n是解答該提的關(guān)鍵，是中高檔題．