Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．在一個周期內(nèi)，當x=

π

12

時，y取得最大值6，當x=

7π

12

時，y取得最小值0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱中心坐標；
（3）當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，函數(shù)y=mf（x）-1的圖象與x軸有交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．在一個周期內(nèi)，當x=

π

12

時，y取得最大值6，當x=

7π

12

時，y取得最小值0．求出A，B，ω，φ的值，進而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的解析式，結合正弦型函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱中心坐標；
（3）分析當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，函數(shù)y=mf（x）-1的取值范圍，進而可得函數(shù)圖象與x軸有交點時實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵在一個周期內(nèi)，當x=

π

12

時，y取得最大值6，當x=

7π

12

時，y取得最小值0，A＞0，
故A=

6-0

2

=3，B=

6+0

2

=3，

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，
故T=π，
又∵ω＞0
∴ω=2，
將x=

π

12

，y=6，代入得

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴φ=

π

3

+2kπ，k∈Z，
又∵|φ|＜π，
∴φ=

π

3

，
∴f(x)=3sin(2x+

π

3

)+3；
（2）由2x+

π

3

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-

5

12

π+kπ，

1

12

π+kπ]，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）遞增區(qū)間[-

5

12

π+kπ，

1

12

π+kπ]，k∈Z；
由2x+

π

3

=kπ+π，k∈Z得：
x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）對稱中心(

π

3

+

kπ

2

，3)，k∈Z；
（3）當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，2x+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
3sin(2x+

π

3

)∈[

3

2

，3]，f(x)∈[

9

2

，6]，
若y=mf（x）-1，則f(x)=

1

m

，
∴m∈[

1

6

，

2

9

]．

點評：本題考查的知識點是正弦函數(shù)解析式的求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，正弦函數(shù)的值域，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質是解答的關鍵．