Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰．

（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離.

Answer 1

(1)見試題解析；（2）.

解析試題分析：（1）要證兩直線垂直，一般通過證明其中一條直線垂直于過另一條直線的平面，這里觀察已知，有PD⊥平面ABCD，則有PD⊥BC，又BC⊥CD，顯然就有BC⊥平面PCD，問題得證；（2）要求點A到平面PBC的距離，由于三棱錐P－ABC的體積容易求出（底面是三角形ABC，高是PD），故可用體積法求點A到平面PBC的距離，見解法二.當然題中由于且，故A到平面PBC的距離等于D到平面PBC的距離的2倍，從而可能先求點D到平面PBC的距離，此時直接作出垂線段即可，見解法一.
試題解析：（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因為PC平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等．又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于．

（方法二）體積法：連結(jié)AC．設(shè)點A到平面PBC的距離為h．
因為AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰．
從而AB=2，BC=1，得的面積．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積．
因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得的面積．
由，，得，
故點A到平面PBC的距離等于．
考點：（1）線面垂直與線線垂直；（2）點到平面的距離.