Question

已知函數(shù)f（x）對任意x、y（x、y∈R）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）在[0，3]上為減函數(shù)．且f（1）=-3，求x∈[-3，3）上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=0，求出f（0）=0，令y=-x，判斷f（x）為奇函數(shù)，得到f（x）在[-3，3）上也為減函數(shù)，運(yùn)用賦值，求出f（3）、f（-3），得到值域．

解答： 解：令x=y=0則f（0）=2f（0），f（0）=0，
令y=-x則f（0）=f（x）+f（-x）=0，f（x）為奇函數(shù)，
∵f（x）在[0，3]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[-3，0]上也為減函數(shù)．
∴f（x）在[-3，3]上也為減函數(shù)．
又f（1）=-3，則f（2）=2f（1）=-6，
f（3）=f（1）+f（2）=-9，f（-3）=9，
∴函數(shù)f（x）在[-3，3）上的值域?yàn)椋?9，9]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性和運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．