【題目】對于兩個定義域相同的函數(shù)f(x)、g(x),若存在實數(shù)m,n,使h(x)=mf(x)+ng(x),則稱函數(shù)f(x)是由“基函數(shù)f(x),g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+3x和g(x)=3x+4生成一個偶函數(shù)h(x),求h(2)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x﹣1是由f(x)=x2+ax和g(x)=x+b生成,其中a,b∈R且ab≠0,求 的取值范圍;
(3)利用“基函數(shù)f(x)=log4(4x+1),g(x)=x﹣1)”生成一個函數(shù)h(x),使得h(x)滿足:
①是偶函數(shù),②有最小值1,求h(x)的解析式.

【答案】
(1)解:f(x)=x2+3x和g(x)=3x+4生成一個偶函數(shù)h(x),則有h(x)=mx2+3(m+n)x+4n,

h(﹣x)=mx2﹣3(m+n)x+4n=mx2+3(m+n)x+4n,

∴m+n=0,

故得h(x)=mx2﹣4m,

∴h(2)=0


(2)解:設(shè)h(x)=2x2+3x﹣1=m(x2+ax)+n(x+b)=mx2+(am+n)x+nb.

∴m=2,am+n=3,nb=﹣1,

則a= ,b=

所以: = = ,

∵a,b∈R且ab≠0,

的取值范圍為[﹣ ,0)∪(0,+∞)


(3)解:設(shè)h(x)=m(log4(4x+1))+n(x﹣1),

∵h(yuǎn)(x)是偶函數(shù),

∴h(﹣x)﹣h(x)=0,

即m(log4(4x+1))+n(﹣x﹣1)﹣m(log4(4x+1))﹣n(x﹣1)=0,

∴(m+2n)x=0,可得:m=﹣2n.

則h(x)=﹣2n(log4(4x+1))+n(x﹣1)=﹣2n[log4(4x+1)﹣ ]

=﹣2n[log4(2x+ )+ ],

∵h(yuǎn)(x)有最小值1,則必有n<0,且有﹣2n=1,

∴m=1,n= ,

故得h(x)=log4(4x+1) (x﹣1)


【解析】(1)先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h(x),再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入?yún)?shù)的方程,求出參數(shù)的值,即得函數(shù)的解析式,代入自變量求值即可.(2)設(shè)h(x)=2x2+3x﹣1=m(x2+ax)+n(x+b),展開后整理,利用待定系數(shù)法找到a,b的關(guān)系,由系數(shù)相等把a(bǔ),b用n表示,然后結(jié)合n的范圍求解 的取值范圍;(3)設(shè)h(x)=m(log4(4x+1))+n(x﹣1),h(x)是偶函數(shù),則h(﹣x)﹣h(x)=0,可得m與n的關(guān)系,h(x)有最小值則必有n<0,且有﹣2n=1,求出m和n值,可得解析式.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點,需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲担焕脠D象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲挡拍苷_解答此題.

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