Question

【題目】已知橢圓,，過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn), 過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn), 設(shè)這兩條直線的斜率分別為,且,證明: 直線 過定點(diǎn)

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)式可得直線的方程為,再根據(jù)切線與圓位置關(guān)系得，解得（2）直線過定點(diǎn)問題，一般通過解直線方程，根據(jù)直線方程特征求定點(diǎn)：先考慮直線斜率存在的情形，，即將問題轉(zhuǎn)化為確定的關(guān)系，而，可利用點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即，再根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理代入化簡得，最后根據(jù)點(diǎn)斜式或方程恒成立理論求定點(diǎn)，直線斜率不存在的情形可代入驗(yàn)證

試題解析：（1）直線過點(diǎn)和直線的方程為,直線與圓相切,, 解得橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí), 設(shè),則,由得,

得.當(dāng)直線的斜率存在時(shí), 設(shè)的方程,,

,得

,

即,

由,即,

故直線過定點(diǎn).