Question

過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P：

x2

2

+y2=1交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為______．

Answer 1

由題意可得四邊形ABCD的對角線互相垂直，且四個頂點在橢圓

x2

2

+y2=1上．
可設(shè)A（

2

cosα，sinα ），B（

2

cos[α+90°]，sin[α+90°]），0°≤α≤180°．
則四邊形ABCD面積等于4×S_△AOB=4×

1

2

|OA|?|OB|=2

2cos2α+sin2α

×

2cos2(α+90°)+sin2(α+90°)

=2

(1+cos2α)(1+sin2α)

=2

2+ 1 4 sin2 2α

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=0，即 α=0°或180°時，等號成立．
故四邊形ABCD面積的最小值等于2

2

．
故答案為：2

2