Question

過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P：

x2

2

+y2=1交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為

2

2

．

Answer 1

分析：先設(shè)出A、B 兩點的坐標(biāo)，則四邊形ABCD面積等于 4×S_△AOB，化簡為2

2+ 1 4 sin2 2α

，求出其最小值．

解答：解：由題意可得四邊形ABCD的對角線互相垂直，且四個頂點在橢圓

x2

2

+y2=1上．
可設(shè)A（

2

cosα，sinα ），B（

2

cos（α+90°），sin（α+90°）），0°≤α≤180°．
則四邊形ABCD面積等于4×S_△AOB=4×

1

2

|OA|•|OB|=2

2cos2α+sin2α

×

2cos2(α+90°)+sin2(α+90°)

=2

(1+cos2α)(1+sin2α)

=2

2+ 1 4 sin2 2α

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=0，即 α=0°或180°時，等號成立．
故四邊形ABCD面積的最小值等于2

2

．
故答案為：2

2

點評：本題的考點是橢圓的簡單性質(zhì)，主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正確化簡，利用三角函數(shù)的最值，是解題的關(guān)鍵．