Question

過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P：

x2

2

+y2=1交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（　　）

• A、

  8

  3

• B、4

  2

• C、2

  2

• D、

  4

  3

Answer 1

分析：由題意可得四邊形ABCD面積等于

1

2

•AC•BD，當(dāng)AC和BD中，有一條直線的斜率不存在時(shí)，求得四邊形ABCD面積等于
2

2

．當(dāng)AC和BD的斜率都存在時(shí)，設(shè)AC的方程為y=kx，BD方程為y=-

1

k

x．y=kx代入橢圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求得AC的值，同理求得BD的值，化簡

1

2

•AC•BD 為

4

2+   1 k2+ 1 k2 +2

，再利用基本不等式
求得它的最小值，綜合可得結(jié)論．

解答：解：由題意可得四邊形ABCD的對角線互相垂直，且四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓

x2

2

+y2=1上，且a=

2

，b=1．
四邊形ABCD面積等于

1

2

•AC•BD．
當(dāng)AC和BD中，有一條直線的斜率不存在時(shí)，AC和BD的長度分別為2a和 2b，
四邊形ABCD面積等于

1

2

•AC•BD=2ab=2

2

×1=2

2

．
當(dāng)AC和BD的斜率都存在時(shí)，設(shè)AC的方程為y=kx，BD方程為y=-

1

k

x．
把y=kx代入橢圓的方程化簡為（2k²+1）x²-2=0，∴x_A+x_C=0，xA• xC=- 

2

2k2+1

．
∴AC=

1+k2

•|x_A-x_C|=

1+k2

•

0+ 8 2k2+1

=2

2(1+k2) 2k2+1

．
同理求得 BD=2

2(1+k2) k2+2

，
∴

1

2

•AC•BD=4 

k4+2k2+1 2k4+5k2+2

=

4

2k4+5k2+2 k4+2k2+1

=

4

2k2+5+ 2 k2 k2+2+ 1 k2

=

4

2( k2+ 2 k2 +2)+1 k2+ 1 k2 +2

=

4

2+   1 k2+ 1 k2 +2

≥

4

2+ 1 2+2

=4×

2

3

=

8

3

，當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

k2

時(shí)，取等號．
綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值等于

8

3

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩條直線垂直的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．