過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P:
x2
2
+y2=1
交于A、C與B、D,則四邊形ABCD面積最小值為(  )
A.
8
3
B.4
2
C.2
2
D.
4
3
由題意可得四邊形ABCD的對角線互相垂直,且四個頂點在橢圓
x2
2
+y2=1
上,且a=
2
,b=1.
四邊形ABCD面積等于
1
2
•AC•BD

當(dāng)AC和BD中,有一條直線的斜率不存在時,AC和BD的長度分別為2a和 2b,
四邊形ABCD面積等于
1
2
•AC•BD
=2ab=2
2
×1=2
2

當(dāng)AC和BD的斜率都存在時,設(shè)AC的方程為y=kx,BD方程為y=-
1
k
x.
把y=kx代入橢圓的方程化簡為(2k2+1)x2-2=0,∴xA+xC=0,xA xC=- 
2
2k2+1

∴AC=
1+k2
•|xA-xC|=
1+k2
0+
8
2k2+1
=2
2(1+k2)
2k2+1

同理求得 BD=2
2(1+k2)
k2+2
,
1
2
•AC•BD
=4 
k4+2k2+1
2k4+5k2+2
=
4
2k4+5k2+2
k4+2k2+1
=
4
2k2+5+
2
k2
k2+2+
1
k2
=
4
  2( k2+
2
k2
+2)+1
k2+
1
k2
+2

=
4
2+
  1
k2+
1
k2
+2
4
2+
1
2+2
=4×
2
3
=
8
3
,當(dāng)且僅當(dāng)k2=
1
k2
時,取等號.
綜上可得,四邊形ABCD面積的最小值等于
8
3

故選:A.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P:
x2
2
+y2=1
交于A、C與B、D,則四邊形ABCD面積最小值為( 。
A、
8
3
B、4
2
C、2
2
D、
4
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P:
x2
2
+y2=1
交于A、C與B、D,則四邊形ABCD面積最小值為
2
2
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P:
x2
2
+y2=1
交于A、C與B、D,則四邊形ABCD面積最小值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年陜西省西安一中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P:交于A、C與B、D,則四邊形ABCD面積最小值為( )
A.
B.4
C.2
D.

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