Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當x＞1時，f（x）＞0
（1）求證：f（1）=0；
（2）求證：對任意的x∈R，都有f（

1

x

）=-f（x）；
（3）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）令y=

1

x

（x≠0），由f（xy）=f（x）+f（y）及f（1）=0即可證得結論；
（3）任取x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），易證＞f（

x1

x2

）＞0，從而可判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性．

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
（2）證明：令y=

1

x

（x≠0），
則f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（3）任取x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∴

-x1

-x2

=

x1

x2

＞1，
由題意，f（

x1

x2

）＞0，
又定義域內任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查賦值法求值，考查函數(shù)單調性的判斷與證明，屬于中檔題．