Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0
（1）求證：f（1）=0；
（2）求證：對(duì)任意的x∈R，都有f（

1

x

）=-f（x）；
（3）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）令y=

1

x

（x≠0），由f（xy）=f（x）+f（y）及f（1）=0即可證得結(jié)論；
（3）任取x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），易證＞f（

x1

x2

）＞0，從而可判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
（2）證明：令y=

1

x

（x≠0），
則f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（3）任取x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∴

-x1

-x2

=

x1

x2

＞1，
由題意，f（

x1

x2

）＞0，
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法求值，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．