Question

若實(shí)數(shù)集M中至少含有兩個(gè)元素，且M中任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值都大于2，則稱M為“絕對(duì)好集”．已知集合A={1，2，3，…，10}，則A的所有子集中“絕對(duì)好集”的個(gè)數(shù)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：子集與真子集

專題：新定義

分析：分別求出集合A={1，2，3，…，10}的二元子集中的“絕對(duì)好集”，三元子集中的“絕對(duì)好集”，四元子集中的“絕對(duì)好集”，求和后得答案；
也可以數(shù)列的形式，把集合A={1，2，3，…，n}（n≥2）的所有子集中的“絕對(duì)好集”分含有n的和不含有n的表示出來，通過數(shù)列遞推式得答案．

解答： 解：法1、集合A={1，2，3，…，10}的二元子集中的“絕對(duì)好集”共有7+6+5+4+3+2+1=28個(gè)；
三元子集中的“絕對(duì)好集”共有（4+3+2+1）+（3+2+1）+（2+1）+1=20個(gè)；
四元子集中的“絕對(duì)好集”共有1個(gè)（即{1，4，7，10}）．
故總共有28+20+1=49個(gè)．
故答案為：49．
法二、設(shè)A={1，2，3，…，n}（n≥2）的所有子集中的“絕對(duì)好集”共有a_n個(gè)，將其分為含有n的和不含有n的兩類．含有n的二元子集中的“絕對(duì)好集”共有n-3個(gè)；含有n的三元及以上子集中的“絕對(duì)好集”共有a_n-3個(gè)；
不含n的子集中的“絕對(duì)好集”共有a_n-1個(gè)．
故a_n=n-3+a_n-3+a_n-1．
由a₂=a₃=0，a₄=1⇒a₅=3，a₆=6，a₇=11，a₈=19，a₉=31，a₁₀=49．
故答案為：49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了子集與真子集，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生靈活分析問題和解決問題的能力，是中檔題．