Question

已知f(x)=

4x

3x2+3

(x∈(0，2))，g(x)=

1

2

x2-lnx-a．
（1）求f（x）的值域；
（2）若?x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范圍；
（3）對(duì)?x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）=g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：解題思想

分析：（1）中只需要分子分母同除以x，再利用基本不等式即可，注意到x的取值范圍．
（2）題目中的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為g（x）=0在[1，2]上有解去解決．
（3）分析題意，可知f（x）的值域是g（x）值域的子集，然后畫數(shù)軸求解．

解答： 解：（1）f(x)=

4x

3x2+3

=

4

3

×

1

x+ 1 x

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，x+

1

x

∈[2，+∞），故f(x)∈(0，

2

3

]．
（2）原問(wèn)題等價(jià)于方程

1

2

x2-lnx=a(x∈[1，2])有解．
令μ(x)=

1

2

x2-lnx，則μ′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

≥0，
故μ（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．
∵μ(1)=

1

2

，μ(2)=2-ln2，∴μ(x)∈[

1

2

，2-ln2]，
故a∈[

1

2

，2-ln2]．
（3）令A(yù)={y|y=f（x），x∈（0，2）}，B={y|y=g（x），x∈[1，2]}
則原問(wèn)題等價(jià)于A⊆B．
由（1）（2）可知A=(0，

2

3

]，B=[

1

2

，2-ln2]
∴

1 2 -a≤0 2 3 ≤2-ln2-a

，解得

1

2

≤a≤

4

3

-ln2
∴a∈[

1

2

，

4

3

-ln2]．

點(diǎn)評(píng)：在本題的三小問(wèn)中．第（1）（3）中，都是求函數(shù)的值域，常用的方法有換元法，圖象法，不等式法，利用單調(diào)性求解，△判別式法等等（2）的解題思路是轉(zhuǎn)化成方程的問(wèn)題，再利用數(shù)形結(jié)合即可解決．在高中階段，對(duì)于“?”的考查比較多，通過(guò)講練，學(xué)生也較易掌握，但對(duì)于“?”的理解，需要更多的分析和思考，才能準(zhǔn)確的把握題意．