Question

已知拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），點(diǎn)R（1，2）在拋物線C上．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（l，1）作直線交拋物線C于不同于R的兩點(diǎn)A，B，若直線AR，BR分別交直線l：y=2x+2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|最小時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)R（1，2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂y₂），設(shè)直線AB的方程為x=m（y-1）+1，m≠0，設(shè)直線AR的方程為y=k₁（x-1）+2，由已知條件推導(dǎo)出x_M=-

2

y1

，x_N=-

2

y2

，由此求出|MN|=2

5

m2-m+1

|m-1|

，再用換元法能求出|MN|的最小值及此時(shí)直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)R（1，2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂y₂），直線AB的方程為x=m（y-1）+1，m≠0，
由

x=m(y-1)+1 y2=4x

，消去x，并整理，得：y²-4my+4（m-1）=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=4（m-1），
設(shè)直線AR的方程為y=k₁（x-1）+2，
由

y=k1(x-1)+2 y=2x+2

，解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=

k1

k2-2

，
又k1=

y1-2

x1-1

=

y1-2

y12 4 -1

=

4

y1+2

，
∴x_M=

k1

k1-2

=-

2

y1

，
同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)x_N=-

2

y2

，
|y₂-y₁|=

(y2+y1)2-4y1y2

=4

m2-m+1

，
∴|MN|=

5

|x_M-x_N|=

5

|-

2

y1

+

2

y2

|=2

5

|

y2-y1

y1y2

|，
=8

5

m2-m+1

4|m-1|

=2

5

m2-m+1

|m-1|

，
令m-1=t，t≠0，則m=t=1，
∴|MN|=2

5

( 1 t + 1 2 )2+ 3 4

≥

15

，
即當(dāng)t=-2，m=-1時(shí)，|MN|取最小值為

15

，
此時(shí)直線AB的方程為x+y-2=0．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查線段的最小值的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意換元法的合理運(yùn)用．