Question

求以橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線方程，并求此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率及漸近線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出雙曲線的離心率、漸近線方程．

解答： 解：橢圓的焦點(diǎn)F₁（-

7

，0），F(xiàn)₂（

7

，0），即為雙曲線的頂點(diǎn)．
∵雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)在同一直線上，
∴雙曲線的焦點(diǎn)應(yīng)為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A₁（-4，0），A₂（4，0），∴c=4，a=

7

，
∴b=3，
故所求雙曲線的方程為

x2

7

-

y2

9

=1．…（6分）
實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2

7

，虛軸長(zhǎng)為2b=6，
離心率e=

c

a

=

4 7

7

，漸近線方程為y=±

3 7

7

x．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．