Question

【題目】已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓：相交于、兩點(diǎn)，是中點(diǎn)，與直線：（為常數(shù)）相交于點(diǎn).

（1）求證：當(dāng)與垂直時(shí)，必過圓心；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，探索的值是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）為常數(shù),該常數(shù)為

【解析】

(1)根據(jù)直線與垂直可得到直線的斜率,由點(diǎn)斜式可得的方程,由圓的方程可得圓心坐標(biāo),將圓心坐標(biāo)代入直線的方程滿足可證結(jié)論正確,

(2)利用弦長(zhǎng)的一半,半徑和勾股定理可求得,再討論直線的斜率,利用點(diǎn)到直線的距離公式列等式可解得.

(3)利用,將轉(zhuǎn)化為,再討論直線的斜率是否存在,可得點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)論.

如圖所示:

(1)證明: 當(dāng)與垂直時(shí),,所以直線的方程為:,即,

又圓：的圓心為滿足直線的方程,

所以當(dāng)與垂直時(shí)，必過圓心

(2)因?yàn)閳A：的圓心,半徑為3,

根據(jù)圓的性質(zhì)可知,,所以有,

所以,所以,所以,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),滿足,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),即,

由點(diǎn)到直線的距離可得,解得,

所以,即,

綜上所述:直線的方程為或.

(3)因?yàn)?/span>,所以,

所以,

①當(dāng)與軸垂直時(shí),易得,

則,,

所以,

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,即,

則由 得 ,所以,

則,

所以

.

綜上所述: 為常數(shù),該常數(shù)為.