Question

某學校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，學校規(guī)定上學所需時間不小于1小時的學生可以申請在學校住宿．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中x的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（Ⅲ）用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，從可以住宿的學生當中隨機抽取3人，記ξ為其中上學所需時間不低于80分鐘的人數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,極差、方差與標準差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由直方圖能求出x．
（Ⅱ）設中位數(shù)為y，則20×0.0125+（y-20）×0.025=0.5，由此能求出中位數(shù)．
（Ⅲ）依題意得ξ～B（3，

1

2

），ξ的所有可能取值為0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及其數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）由直方圖得：
20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×20=1．
解得x=0.0125．…（3分）
（Ⅱ）設中位數(shù)為y，
則20×0.0125+（y-20）×0.025=0.5，
解得y=30．
∴中位數(shù)估計為30分鐘..…（6分）
（Ⅲ）依題意得ξ～B（3，

1

2

），ξ的所有可能取值為0，1，2，3，．…（7分）
P（ξ=0）=(

1

2

)3=

1

8

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=3）=（

1

2

）³=

1

8

．…（11分）
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

∴ξ的數(shù)學期望是Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．…（13分）

點評：本題考相頻率直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．